حل معادله شرودینگر برای مساله ذره در جعبه یک بعدی

یکی از اولین مسائلی که در مطالعه شیمی کوانتومی با آن مواجه می شوید، مساله ذره در جعبه یک بعدی است. در این مساله، یک ذره داریم که در فضای یک بعدی به طول $L$ قرار گرفته است. ما باید بر اساس معادله شرودینگر، برای این مساله، معادله موج و انرژی به دست آوریم.

برای رسیدن به این هدف، تنها کافی است که معادله معروف شرودینگر را برای این مساله حل کنیم. در ادامه به صورت مرحله به مرحله این کار را انجام خواهیم داد. پیش از هر چیز باید بدانید که در حل این مساله از معادله مستقل از زمان شرودینگر استفاده می کنیم که به صورت زیر است:

$\large -\frac{\bar{h}^{2}}{2m}\frac{\mathrm{d}^2 \psi }{\mathrm{d} x^2}+V(x)\psi (x)=E\psi (x)$

در این معادله $\bar{h} =\frac{h}{2\pi }$ است و تا پایان نیز همین روال ادامه خواهد داشت. در مساله ذره در جعبه یک بعدی، یک فضای یک بعدی داریم که روی آن، پتانسیل در هر نقطه ای بی نهایت است و قاعدتا ذره نمی تواند در آن قرار بگیرد. اما در فضایی به اندازه $L$ ، پتانسیل مقدار صفر داشته و بنابراین، ذره ما می تواند در آن محل حضور داشته باشد.

شکل جعبه در مساله

در تصویر بالا، مکان سفید رنگ، تنها جایی است که ذره می تواند در آن قرار گیرد. برای اینکه بتوانید این شکل را درک کنید، فرض کنید توپی دارید که روی یک مسیر مستقیم حرکت می کند. در مکان های خاکستری رنگ، یک دمنده بسیار قوی هوا وجود دارد.

بنابراین اگر توپ به این مکان ها برسد توسط جریان شدید هوا به خارج از مسیر پرتاب می شود و فقط در صورتی که در مکان سفید رنگ واقع شود، می تواند روی این خط قرار داشته باشد. این مثال گرچه خیلی هم خوب نیست اما برای ایجاد یک درک اولیه مناسب است.

ما می توانیم معادله بالا را به صورت زیر بنویسیم:

$\large -\frac{\bar{h}^{2}}{2m}\frac{\mathrm{d}^2 \psi }{\mathrm{d} x^2}=E\psi (x)-V(x)\psi (x){\color{Red} \rightarrow }-\frac{\bar{h}^{2}}{2m}\frac{\mathrm{d}^2 \psi }{\mathrm{d} x^2}=(E-V(x))\psi (x)$

ما باید معادله مان را برای کل فضای یک بعدی مان حل کنیم. اما از آنجایی که پتانسیل در محدوده های خاکستری رنگ بی نهایت است پس برای این دو محدوده داریم:

$\large -\frac{\bar{h}^{2}}{2m}\frac{\mathrm{d}^2 \psi }{\mathrm{d} x^2}=(E-\infty )\psi (x)$

در این معادله می توانیم از $E$ در مقابل $\infty$ صرف نظر کنیم. پس خواهیم داشت:

$\large \frac{\bar{h}^{2}}{2m}\frac{\mathrm{d}^2 \psi }{\mathrm{d} x^2}= \psi (x)\infty{\color{Red} \rightarrow }\psi (x)=\frac{\bar{h}^{2}}{2m}\frac{\mathrm{d}^2 \psi }{\mathrm{d} x^2}\frac{1}{\infty }{\color{Red} =0}$

همانطور که مشاهده می کنید، برای این دو ناحیه، تابع موج صفر خواهد بود و این یعنی، در این مکان ها هیچ ذره ای وجود نخواهد داشت. پس ما غیر از محدوده بین 0 تا $L$ ، از بقیه فضای یک بعدی مان صرف نظر می کنیم و معادله شرودینگر را صرفا برای این محدوده حل می کنیم.

برای محدوده سفید رنگ به علت صفر بودن پتانسیل داریم:

$\large -\frac{\bar{h}^{2}}{2m}\frac{\mathrm{d}^2 \psi }{\mathrm{d} x^2}=E\psi (x)$

می توانیم معادله بالا را به صورت زیر نیز بنویسیم:

$-\frac{\bar{h}^{2}}{2m}\frac{\mathrm{d}^2 \psi }{\mathrm{d} x^2}=E\psi (x){\color{Red} \rightarrow }\frac{\mathrm{d}^2 \psi }{\mathrm{d} x^2}=\frac{2mE\psi (x)}{-\bar{h}^2}{\color{Red} \rightarrow }\frac{\mathrm{d}^2 \psi }{\mathrm{d} x^2}+\frac{2mE\psi (x)}{\bar{h}^2}=0$

همانطور که می بینید قسمت سوم معادله بالا یک معادله دیفرانسیل همگن از مرتبه دوم می باشد. برای حل این معادله دیفرانسیل، ما می توانیم از معادله کمکی استفاده کنیم. در حالت کلی، برای حل این نوع معادلات از روش زیر استفاده می کنیم:

اگر فرض کنیم که $y$ تابع مورد نظر ما باشد؛ آنگاه ${y}'$ مشتق اول آن و ${y}''$ مشتق دوم آن خواهد بود و داریم:

${y}''+p{y}'+qy=0$

برای حل چنین معادله ای، معادله زیر را حل می کنیم:

$s^{2}+ps+q=0$

از حل این معادله $s$ به دست می آید و سپس جواب حل معادله دیفرانسیل به صورت زیر خواهد بود:

$\large y=c_{1}e^{s_{1}x}+c_{2}e^{s_{2}x}$

برای حل معادله دیفرانسیل بالا داریم:

$\large \underset{{\color{Red} \mathbf{{y}''}}}{{\frac{\mathrm{d}^2 \psi }{\mathrm{d} x^2}}}+\underset{{\color{Red} \mathbf{q}}}{\frac{2mE\psi (x)}{\bar{h}^2}}=0$

پس برای جواب این معادله دیفرانسیل، بر اساس آن چه پیش تر گفتیم خواهیم داشت:

$\large p=0{\color{Red} ,}q=\frac{2mE\psi }{\bar{h}^{2}}$

پس برای $s$ داریم:

$\large s=\pm \sqrt{\frac{-2mE}{\bar{h}^{2}}}=\pm (i\frac{\sqrt{2mE}}{\bar{h}})$

از آنجایی که عدد منفی نمی تواند زیر رادیکال باشد. پس منفی زیر رادیکال را به $\large i$ که به صورت زیر تعریف می شود تبدیل می کنیم و داریم:

$\large i=\sqrt{-1}{\color{Red} \rightarrow }i^{2}=-1$

$\large y=c_{1}e^{i(\frac{\sqrt{2mE}}{\bar{h}}x)}+c_{2}e^{-i(\frac{\sqrt{2mE}}{\bar{h}}x)}$

تا به اینجای کار توانستیم معادله دیفرانسیل را حل کنیم. اما می توانیم این معادله را به شکل دیگری نیز بنویسیم. ما می دانیم که یک معادله مثلثلاتی به صورت $\large {\color{red} e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta}$ نیز وجود دارد. پس اگر ${\color{Red} \theta=\frac{\sqrt{2mE}}{\bar{h}}x}$ باشد؛ می توانیم معادله خودمان را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

$\large y=\psi =c_{1}e^{i\theta }+c_{2}e^{-i\theta }$

با جاگذاری ${\color{red} e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta}$ در معادله بالا داریم:

$\large \psi =C_{1}(cos\theta +isin\theta)+C_{2}(cos\theta -isin\theta)$

معادله بالا را می توان به صورت دیگری نیز نوشت:

$\large \psi =cos\theta (c_{1}+c_{2})+sin\theta (ic_{1}-ic_{2})$

اگر ${\color{Red} (c_{1}+c_{2})=A}$ و ${\color{Red} (ic_{1}-ic_{2})=B}$ باشد؛ پس می توان معادله بالا را به صورت زیر بازنویسی کرد:

$\large \psi =Acos\theta +Bsin\theta$

با جاگذاری $\theta$ در این معادله، شکل نهایی تابع موج به صورت زیر خواهد بود و داریم:

$\large \psi =Acos\frac{\sqrt{2mE}}{\bar{h}}x +Bsin\frac{\sqrt{2mE}}{\bar{h}}x$

همه عبارت های این معادله به غیر از $A$ و $B$ مشخص است. برای مشخص کردن این دو مورد، باید به سراغ شرایط مرزی مساله برویم. ما می دانیم که در مناطق خاکستری رنگ، تابع موج صفر می شود. پس می توان گفت:

$\large \lim_{x\rightarrow 0 }\psi=0{\color{Red} ,}\lim_{x\rightarrow l }\psi=0$

پس در دو انتهای جعبه، تابع موج به صورت زیر خواهد بود:

$\large Acos\frac{\sqrt{2mE}}{\bar{h}}x +Bsin\frac{\sqrt{2mE}}{\bar{h}}x=0$

از آنجایی که $\sin (0)=0$ و $\cos (0)=1$ است پس معادله بالا برای $x=0$ به صورت زیر خواهد بود:

$\large Bsin\frac{\sqrt{2mE}}{\bar{h}}x=0$

برای این که معادله بالا صادق باشد یا باید $B=0$ باشد و یا $sin\frac{\sqrt{2mE}}{\bar{h}}x=0$ باشد. اگر $sin\frac{\sqrt{2mE}}{\bar{h}}x=0$ باشد پس تابع موج در منطقه خاکستری رنگ صفر خواهد بود و این یعنی ذره ای در منطقه خاکستری وجود نخواهد داشت. اما ما می دانیم که حتما ذره ما در منطقه خاکستری رنگ وجود دارد. پس با قاطعیت می پذیریم که $B=0$ است و داریم:

$\large \psi =sin\frac{\sqrt{2mE}}{\bar{h}}x$

اگر این معادله را برای نقطه $x=l$ بنویسیم داریم:

$\large sin\frac{\sqrt{2mE}}{\bar{h}}l=0{\color{Red} \rightarrow }\frac{2\pi }{h}sin(\sqrt{2mE})l=0$

از حل این معادله مثلثاتی داریم:

$\large \frac{2\pi }{h}sin(\sqrt{2mE})l=\pm n\pi \xrightarrow[]{}n=0,1,2,...$

از این معادله می توانیم معادله مربوط به انرژی را به دست آوریم و داریم:

$\large E=\frac{n^{2}h^{2}}{8ml^{2}} \mathbf{{\color{Red} , }} n=1,2,3,...$

تا به اینجا انرژی های کجاز برای ذره در جعبه یک بعدی را محاسبه کردیم اما هنوز تابع موج را به دست نیاورده ایم. پس برای به دست آوردن تابع موج داریم:

$\large \left\{\begin{matrix}\frac{2\pi }{h}sin(\sqrt{2mE})l=\pm n\pi {\color{Red} (I)} \\\\ \psi =Bsin(\frac{n\pi x}{l}){\color{Red} (II)} \end{matrix}\right.$

در این جا با جاگذاری $I$ در $II$ داریم:

$\large \psi =Bsin(\frac{n\pi x}{l}){\color{Red} ,}n=1,2,3,...$

تا به اینجا ما توانستیم تابع موج را به دست آوریم اما $B$ همچنان نامعلوم است. برای به دست آوردن آن از شرایط مرزی استفاده می کنیم. ما می دانیم که تابع موج یک ذره باید نرمال باشد. یعنی معادله زیر برای تابع موج آن صادق باشد.

$\large \int_{-\infty }^{\infty }\psi ^{2}dx=1$