مقدمه

• تقارن يكي از فراگيرترين مفاهيم در جهان است كه در طبيعت نمونه‌هاي بي‌شماري از آن وجود دارد، بطوريكه بشر در تمام موارد, اين مفهوم كلي را به شكل كم و بيش پيچيده به كار مي‌برد.
• اگر ریاضی را در نشر نگیریم، تقارن به معني نظم و ترتيب در شكل، تناسب خوشآيند و يا ترتيب هماهنگ مي‌باشد. 
• از نظر هندسي هم می توانیم تقارن را بررسي کنیم.
•  هر عمل تقارن در واقع يك عمل هندسي است كه اگر بر روي ملكولي انجام گيرد، آن را در همان وضعيت اوليه يا هم ارز با وضعيت اوليه آن قرار مي‌دهد.
• اين اعمال مي توانند به صورت خط، نقطه يا صفحه باشند كه به ترتيب محور تقارن، مركز تقارن و صفحه تقارن ناميده مي‌شود.

تقارن در شيمي

• يكي از مسائل مهم شيمي كه همواره با آن مواجه هستيم درك ساختار مولكولي است، يعني چگونه اتم ها در يك ملكول به يكديگر در فضا مربوط مي‌گردند و رابطه هر يك از اين مولكول ها به تنهايي در يك ساختار بلوري چگونه است.
• براي شيميدان‌هاي مجرب و كارآزموده، مزاياي زيادي از طريق مطالعه تقارن فراهم مي گردد.
• يكي از ساده‌ترين آن ها, تشخيص اتم‌هاي معادل در ملكول مي‌باشد.

عناصر و اعمال تقارن

عناصر تقارنی و اعمال تقارنی دو مقوله متفاوت مي‌باشند، درك و فهميدن تفاوت بين آنها بسيار مهم است.

 تعريف عمل تقارن

• عمل تقارن عبارت از حركتي از جسم است، بطوريكه پس از انجام آن حركت, هر نقطه جسم مطابق با نقطه معادل (همان نقطه) در جهت اوليه گردد.
• به عبارت ديگر, اگر به وضعيت و جهت‌گيري جسم, قبل و بعد از انجام حركت توجه كنيم، آن حركت در صورتي يك عمل تقارن است كه دو وضعيت و جهت‌گيري جسم قبل و بعد از آن حركت غير قابل تشخيص ‌باشد.

 تعريف عنصر تقارن

• عنصر تقارن يك وجود هندسي مانند خط، صفحه و يا يك نقطه مي‌باشد كه نسبت به آنها مي‌توان اعمال تقارني را انجام داد.
• همچنان كه قبلا اشاره گرديد، عناصر تقارن و اعمال تقارني مكمل يكديگرند، زيرا اعمال تقارن فقط در رابطه با عناصر تقارن تعريف مي‌گردد .
• ضمنا وجود يك عنصر تقارن را فقط با نشان دادن وجود اعمال تقارني مربوط مي‌توان نمايش داد.

عنصرها و عملهای تقارنی

دوران حول يك محور متعارف

• چنانچه در دوران مولكولي حول يك محور با هر زاويه‌اي، منتج به جهت‌گيري گردد كه قابل انطباق به حالت اوليه باشد، محور را محور دوران مي‌نامند.
• حال اگر زاويه‌اي را كه ملكول بايستي به اندازه آن دوران كند تا يك تصوير قابل انطباق بدست آيد θ بگيريم، در آن صورت گفته مي‌شودكه مولكول, يك محور دوران θ/360 درجه را دارد كه آن را به صورت Cn  نشان مي‌دهد كه در آنجا n, درجه محور بوده و برابر است با θ/360=n؛ C علامت دوران (cylic) است.

• چنانچه m بار ملكولي را به اندازه θ/π2 به طور متوالي به دور محور C_n بچرخانيم, اين عمل تقارني را با نماد كليC_n^m نشان   مي‌دهند.

اگر عمل تقارنيC_n را n بار انجام دهیم (n = m) مولكول به وضعيت اوليه‌اش باز مي‌گردد، از اين رو آن را عمل يكساني مي‌نامند و با نماد E  آن را نشان مي‌دهند E = C_n^m

انتخاب محور اصلي

• اگر مولكولي تنها داراي يك محور تقارن باشد, آن را محور اصلي آن مولكول در نظر مي گيرند، به عنوان مثال مولكول آب بر اساس شکل 1-1 تنها يك محور تقارن مرتبه 2 (₂ C) دارد كه محور اصلي آن نیز مي باشد.

شكل (1ـ1) : H₂O قبل وبعد از عمل C₂

شكل (1ـ2) : نمايش محورهاي دوران محض گونه‌هاي سطح مثلثي (مانند BF₃)

• آنيون مسطح مربعي تتراكلريد پلاتين(II)

مطابق شكل (1ـ2) داراي چهار محور تقارن مرتبه 2

( دو محور₂‘Cاز راسهاي روبرو و دو محور₂C”

ازوسط ضلعهاي روبروي مربع مي‌گذرند) و

يك محور تقارن مرتبه 4 (عمود برمركز شكل) مي‌باشد،

• بنابراين محوراصلي اين ملكول ₄C مي‌باشد

شكل (1ـ3 ) : نمايش محورهاي دوران محض يك گونه‌ مربعي^-2(₄PtCl)

چنانچه ملكولي داراي چندين محور تقارن هم‌ مرتبه باشد(درجات محور تقارني يكسان) و يا از بين محورهاي تقارني آنها دو يا چندين محور، بالاترين مرتبه يكسان را داشته باشند، محور اصلي محوري خواهد بود كه از تعداد اتم‌هاي بيشتري عبور مي‌كند.

 به عنوان مثال در ملكول اتيلن مسطح بر طبق شكل (1ـ5 ) داراي سه محور تقارني با مرتبه 2 (يك محور₂C و دو محور₂C’ ) مي‌باشد.

 چون محور₂C آن از دو اتم مركزي مي‌گذرد،

   بنابراين محور₂C، محور اصلي ملكول محسوب مي‌شود

شكل (1ـ4) : نمايش محورهاي دوران محض در ملكول اتيلن

• ، چنانچه همه محورهاي مرتبه بالاتر، هم‌مرتبه بوده و از نظرعبور آنها ازاتم‌ها هم يكسان باشند، بطوريكه نتوان تفاوتي بين آنها در نظر گرفت، در آنصورت هريك از آنها را مي توان به نوبت بعنوان محور اصلي در نظر گرفت.

• به عنوان مثال در ملكول چهار وجهي متان، داراي سه محور تقارن₂C و چهار محور تقارن ₃C است كه هر يك از چهار محور تقارن ₃C آن از يك راس و مركز وجه روبروي آن مي گذرد، از اينرو هيچ تفاوتي با هم ندارند.
• بنابراين مي‌توان هريك از آنها را به عنوان يك محور اصلي در نظر گرفت، يعني گونه هاي چهار وجهي منتظم داراي چهار محور اصلي ₃C مي‌باشند.
• همچنين ملكولهاي هشت وجهي منتظم داراي سه محور اصلي ₄  Cمي باشند كه از رأسهاي روبروي آن مي‌گذرند.

مركز تقارن و عمل وارونگي

• اگر در يك ملكول، خط مستقيمي از هريك از اتمهاي آن به مركز ملكول وصل نموده و آن را در همان راستا و به همان اندازه امتداد دهيم، به اتمهاي مشابهي برخورد مي نماييم، گفته مي‌شود كه آن ملكول داراي مركز تقارن است.
• عمل وارونگي عملي است كه در نتيجه آن نيمي از ملكول بوسيله نيم ديگر آن توليد مي‌شود.

شكل (1-5)  : ملكول‌هاي داراي مركز تقارن

انعكاس در يك صفحه تقارن

• صفحه تقارن، صفحه ايست كه ملكول را به دو قسمت نموده كه هريك تصوير آيينه‌اي يكديگر مي‌باشند.
• يك چنين صفحه آيينه‌اي را در ملكول، صفحه تقارن مي‌نامند و آن را با علامت δ نشان مي‌دهند.
• عمل انعكاس نيز بوسيله همين نشانه مشخص مي شود. بطوريكه با انجام عمل انعكاس براي بار نخست، آرايشي معادل آرايش آغازي بدست مي آيد ولي با تكرار عمل انعكاس، مجدداً به آرايش اوليه بر مي‌گرديم.
• از اين رو نتيجه مي‌گيريم كه صفحه انعكاس مولد يك عمل تقارن است.

معمولا با توجه به وضعيت صفحه تقارن نسبت به محور اصلی سه نوع صفحه تقارن در ملكول وجود دارد.

• الف: صفحه تقارن عمودي δ_v
• ب: صفحه تقارن افقي δ_h
• ج: صفحه تقارن مورب δ_d

• الف)ـ صفحه تقارن عمودي δ_v: صفحه تقارن عمودي صفحه ايست كه دربردارنده محوراصلي ملكول باشد.

ب)ـ صفحه تقارني افقي  δ_h: صفحه تقارني افقي صفحه ايست كه بر محوراصلي ملكول عمود مي باشد.

ج)- صفحه تقارني مورب δ_d: اگر ملكولي داراي محورهاي ₂C عمود بر محور اصلي بوده و داراي صفحه‌هاي تقارن عمودي باشد، آن صفحات ، صفحات تقارني مورب δ_d مي نامند.

شكل(1-6) : نمايش صفحات تقارني مختلف در گونه‌هاي مربعي ־ICl4 ، مسطح مربعي C6H6 
وپنج ضلعي مسطحC5H5

محور دوران – انعکاس

• فرض کنيد که ملکولي حول محوري دوران کند و جهت گيري حاصل از اين دوران را در صفحه اي عمود بر اين محور (عمل تقارن) منعکس گردد ، بطوريکه جهت گيري حاصل قابل انطباق بر ملکول اوليه باشد، گفته مي شود که اين ملکول داراي محور دوران _ انعکاس مي باشد.
• اين محور چرخش را که محور نامتعارف نيز مي گويند، بعلامت S_n نشان مي دهند.

شکل (1-7) : نمونه هايی از چند نوع محور چرخشی نامتعارف (S_n)

عمل يکسانی

• عمل يکسانی در واقع يک عمل تقارنی هست و يک حالت بخصوصی از محور دوران متعارف (C_n) است که مرتبه آن يعنی 1= n است.
• بنابراين عنصر يکسانی همان محور دوران C₁ می باشد که شامل دوران باندازه 360 درجه است.
• اين عمل هر شیء يا مولکولی را بدون تغيير می گذارد و آنرا با علامت E نشان می دهند، پس هر شیء يا مولکولی دارای عمل يکسانی است.

ضرب اعمال تقارنی

• اگر بخواهيم دو عمل تقارنی A و B را به نوبت انجام دهيم، در آنصورت ضرب آنها به صورت A×B نوشته می شود، يعنی برای بدست آوردن اين حاصلضرب ابتدا عمل B و سپس عمل A را انجام داده و جواب حاصلضرب بوسيله يک عمل تقارنی برای تبديل حالت اوليه به نهايی خواهد بود.
• بايد توجه داشت که ترتيب انجام عمل تقارنی از راست به چپ است، يعنی همانطوريکه گفته شد در حاصلضرب AB ابتدا عمل تقارنی B و سپس عمل تقارنی A انجام داده می شود.
• در صورتيکه نتيجه حاصلضرب AB با حاصلضرب BA يکسان باشد، دو عمل تقارنی A و B را نسبت به هم تعويض پذير گويند.

گروه نقطه ای تقارن

• مجموعه عمل های تقارنی که درباره يک مولکول می توان انجام داد را اصطلاحا گروه تقارن آن مولکول می نامند.
• چون اين مجموعه عمل های تقارنی موجب جابجا شدن و انتقال مولکول از نقطه ای به نقطه ای ديگر نمی گردد، يعنی آن را در همان نقطه ای که درفضا وجود داشته باقی می گذارد و يا اينکه حداقل يکی از نقاط مولکول در درون آن جابجا نمی گردد، از اينرو آن مجموعه اعمال تقارنی را گروه نقطه ای آن مولکول می نامند.

گروهی که در آن کليه عمل های ضرب تعويض پذير باشد، گروه آبلی ناميده می شود.

يک گروه حلقوی از رتبه h ، گروهی است که از عنصری از آن گروه به همراه کليه توان های آن عنصر تشکيل شده باشد.

 يعنی از يک عنصر آن بتوان عنصرهای ديگر را به دست آورد. ويژگی مهم گروه های حلقوی تعويض پذير بودن آنهاست.

 بدين معنی که:

Xⁿ X^m = X^m Xⁿ

 بنابراين هر گروه حلقوی يک گروه آبلی است.

تشکيل يک گروه نقطه ای بايستی شرايط زير يعنی مجموعه عناصر تقارنی آن مولکول برقرار باشد.

• 1- نتيجه حاصلضرب هر عنصری در عنصر ديگر گروه و همچنين مجذور هريک از عنصرهای گروه، خود نيز عنصر ديگری از آن گروه باشد.

2- يکی از عنصرهای اين گروه، بايد با ساير عنصرهای آن تعويض پذير باشد و تغييری در آنها ندهد. اين عنصر، عنصر يکسانی ناميده می شود. عنصر يکسانی را با حرف E نشان می دهند.

E X = X E =X

3- در بين عنصرهای گروه، پيروی از قانون شرکت پذيری ضرب حاکم باشد. يعنی داشته باشيم:

A (B C) = (A B) C

4- هر عنصری از گروه بايد وارونه خود را، که آن نيز به طبع عنصری از همان گروه است، داشته باشد. يعنی:

A A-1 =A-1 A = E

• تعداد عنصرها در يک گروه، مرتبه آن گروه ناميده می شود که ممکن است محدود يا نامحدود باشد و آنرا به H نشان می دهند.
• زير گروهها

گروههای کوچکتری که در هر گروه يافت شده و همه ويژگيهای گروه را داشته باشد، زير گروه آن گروه ناميده و آنرا بصورت G نشان می دهند و همواره مرتبه گروه H مضرب صحيحی از مرتبه زير گروههای خود G است، داريم:

H = K . G

عنصرهای مزدوج گروه

هرگاه رابطه در مورد دو عنصر دلخواه A و B از گروهی برقرار باشد، اصطلاحا” اين دو عنصر را مزدوج يکديگر ناميده و B را تبديل مشابهتی A می نامند.

طبقه ها يا کلاسهای گروه

• هر مجموعه از عنصرهای مزدوج يک گروه را اصطلاحا” يک طبقه (کلاس) آن گروه می نامند که در واقع مجموعه های کوچکتری از عنصرهای يک گروه اند.